Question

如圖，PA是⊙O的切線，PE過圓心0，AC為⊙O的直徑，PC與⊙O相交于B、C兩點，連接AB、CD．
（Ⅰ）求證：∠PAD=∠CDE；
（Ⅱ）求證：

PA2

PC•PE

=

BD

AD

．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用圓的切線的性質，結合等腰三角形的性質，即可證明∠PAD=∠CDE；
（Ⅱ）利用△PBD∽△PEC，結合切割線定理即可證明結論．

解答： （Ⅰ）解：由PA是圓O的切線，因此∠PAD=∠ACD，…（2分）
在等腰△OCD中，OD=OC，
可得∠ACD=∠CDE，…（4分）
所以∠PAD=∠CDE．…（5分）
（Ⅱ）證明：連接EC
∵△PBD∽△PEC，
∴

PB

PE

=

BD

CE

，…（7分）
由切割線定理可知，PA²=PB•PC，
則PB=

PA2

PC

，…（9分）
又EC=AD，可得：

PA2

PC•PE

=

BD

AD

．…（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查切割線定理，屬于中檔題．