Question

（本題滿分14分）

(文)如圖，|AB|=2，O為AB中點(diǎn)，直線過(guò)B且垂直于AB，過(guò)A的動(dòng)直線與交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在線段AC上，滿足=.

（I）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（II）若過(guò)B點(diǎn)且斜率為- 的直線與軌跡M交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q(t,0)是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)ΔBPQ為銳角三角形時(shí)t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) x²+4y²=1(y≠0)； (2) - <t<0。

【解析】（1）設(shè)M(x,y)，C(1,y₀)，然后再此條件=坐標(biāo)化可得=,

再根據(jù)A、M、C三點(diǎn)一線，∴=,然后兩式聯(lián)立消去y₀,即可得到點(diǎn)M的軌跡方程.要注意.

(2)用向量判定是銳角的條件·>0,并且和不共線，然后用坐標(biāo)表示出來(lái)，即可得到t的取值范圍.

 (1)設(shè)M(x,y)，C(1,y₀)，∵=，∴=           (2’)

又A、M、C三點(diǎn)一線，∴=       ②                    (4’)

由(1)、(2)消去y₀，得x²+4y²=1(y≠0)                          (6’)

   

(2)P(0, )是軌跡M短軸端點(diǎn)，∴t≥0時(shí)∠PQB或∠PBQ不為銳角，∴t<0

又∠QPB為銳角，∴·>0，∴(t,- )(1,- )=t+ >0，∴- <t<0         (12’)