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當(dāng)x>0時(shí)，求證：ex>x+1.

分析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題.解題的關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性構(gòu)造不等式求解.

證明不妨設(shè)f(x)=ex-x-1,

則f′(x)=(ex)′-(x)′=ex-1.

∵x>0,∴ex>1,ex-1>0.

∴f′(x)>0,即f(x)在（0，+∞)上是增函數(shù).

∴f(x)>f(0),即ex-x-1>e0-1=0.

∴ex>x+1.

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)可證明不等式:若函數(shù)y=f(x)在x∈(a,b)上是單調(diào)增函數(shù),任取a<x<b,則f(x)>f(a),f(x)<f(b);若函數(shù)y=f(x)在x∈(a,b)上是單調(diào)減函數(shù),任取a<x<b,則f(x)<f(a),f(x)>f(b).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-
1
4
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：(1+
1
1×2
)(1+
1
2×3
)•…•[1+
1
n(n+1)
]＜e（n∈N*，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
提示：[ln(x+1)]′=
1
x+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（1）當(dāng)a=-
1
4
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）利用ln（x+1）≤x，求證：ln{(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]}＜1（其中n∈N*，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)，f（x）=x2，g（x）=2eln（x＞0）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），它們的導(dǎo)數(shù)分別為f′（x）、g′（x）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f′（x）+g′（x）≥4
e
；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的單調(diào)區(qū)間及最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

(2007成都模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)當(dāng)b＞0時(shí)，求證:(其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))；

(3)若a＞0，b＞0，證明：f(a)＋(a＋b)ln2≥f(a＋b)－f(b).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年周至二中二模理）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 當(dāng) f(x)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值.

                                 

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同步練習(xí)冊(cè)答案