Question

已知圓x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0的圓心為C，直線l：y=x+b，圓心C到坐標原點O的距離不大于圓C半徑的2倍．
（1）若b=4，求直線l被C所截得弦長的最大值；
（2）若直線l是圓心C下方的圓的切線，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程轉化為標準方程求得圓心C的坐標和半徑，再求得圓心C到直線l的距離，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系構造關于a的函數，然后由二次函數求最值的方法求解．
（2）由直線l與圓C相切，建立b與a的關系，|b-2a|=2

2a

，再由點C在直線l的上方，去掉絕對值，將m轉化為關于a的二次函數求解．

解答：解：（1）已知圓的標準方程是（x+a）²+（y-a）²=4a，
∵圓心C到坐標原點O的距離不大于圓C半徑的2倍．
∴

2

a≤2×2

a

，∴0＜a≤8，
則圓心C的坐標是（-a，a），半徑為2

a

．
直線l的方程化為：x-y+4=0．則圓心C到直線l的距離是=

|4-2a|

2

=

2

×|2-a|．
設直線l被圓C所截得弦長為L，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系是：
L=2

(2 a )2-( 2 |2-a|)2

=2

-2a2+12a-8

=2

-2(a-3)2+10

∵0＜a≤4，∴當a=3時，L的最大值為2

10

．
（2）因為直線l與圓C相切，則有

|b-2a|

2

=2

a

，即|b-2a|=2

2a

．
又點C在直線l的上方，∴a＞-a+b，即2a＞b．
∴2a-b=2

2a

，∴b=(

2a

-1)2-1．
∵0＜a≤8，∴0＜

2a

≤4，
∴b∈[-1，8]．
b的取值范圍是[-1，8]．

點評：本題考查直線與圓的位置關系及方程應用，涉及利用直線與圓相切構建函數模型，求參數范圍，及直線與圓相交時，由圓心距、半徑與相交弦構成的三角形．