Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值，若對?x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，則c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：

分析：先求出f′（x），因為函數(shù)在x=-

2

3

與x=1時都取得極值，所以得到f′（-

2

3

）=0且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的增減區(qū)間；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范圍即可．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b，
由題意得：

f(- 2 3 )=0 f(1)=0

，
解得：

a=- 1 2 b=-2

，
f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-

2

3

，1），
當x=-

2

3

時，f（x）=

22

27

+c為極大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜c²對x∈[-1，2]恒成立，須且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2；
故答案為：（-∞，-1），（2，+∞）．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時所取到的條件．