Question

2．如圖，點(diǎn)P是圓O：x²+y²=4上一點(diǎn)，圓O在點(diǎn)P處的切線為m，PQ垂直x軸于點(diǎn)Q（P、Q不重合），線段PQ的重點(diǎn)為E，點(diǎn)A（-2，0），直線l：x=2與直線m交于點(diǎn)M．
（1）若點(diǎn)P（1，$\sqrt{3}$），求直線m的方程；
（2）當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明A，E，M三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）若點(diǎn)P（1，$\sqrt{3}$），求出切線斜率，即可求直線m的方程；
（2）當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明k_AE=k_AM，即可證明A，E，M三點(diǎn)共線．

解答 （1）解：∵點(diǎn)P（1，$\sqrt{3}$），
∴k_OP=$\sqrt{3}$，∴k_m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線m的方程為y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x+$\sqrt{3}$y-4=0；
（2）證明：設(shè)P（m，n），則直線m的方程為mx+ny-4=0，x=2，M（2，$\frac{4-2m}{n}$）．
又E（m，$\frac{n}{2}$），∴k_AE=$\frac{\frac{n}{2}}{m+2}$=$\frac{n}{2m+4}$，k_AM=$\frac{\frac{4-2m}{n}}{4}$=$\frac{2-m}{2n}$，
∵m²+n²=4，∴k_AE=k_AM，
∴A，E，M三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．