Question

10．若直線x+2y-2=0與橢圓mx²+ny²=1交于點C，D，點M為CD的中點，直線OM（O為原點）的斜率為$\frac{1}{2}$，且OC⊥OD，則m+n=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（4m+n）x²-4nx+4n-4=0．OC⊥OD，可得$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化為（4m+n）x²-4nx+4n-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4n}{4m+n}$=2x₀，x₁x₂=$\frac{4n-4}{4m+n}$．
∵OC⊥OD，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}（2-{x}_{1}）（2-{x}_{2}）$=0，
化為5x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0．
∴$\frac{20（n-1）}{4m+n}$-$\frac{8n}{4m+n}$+4=0，
化為：m+n=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．