Question

13．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求證：平面PEC⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）取PC中點G，連接FG、EG，可證四邊形AEGF為平行四邊形，可得AF∥EG，由線面平行的判定定理可得；
（2）由線面垂直的判定定理可證AF⊥平面PCD，進而可得EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理可得．

解答 證明：（1）取PC中點G，連接FG、EG，
在△PCD中由中位線可得FG∥CD且FG=$\frac{1}{2}$CD，
又AE∥CD且AE=$\frac{1}{2}$CD，∴FG∥AE且FG=AE，
∴四邊形AEGF為平行四邊形，∴AF∥EG，
又AF?平面PEC，EG?平面PEC，
∴AF∥平面PEC；
（2）由PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，可得△PAD為等腰直角三角形，
再由F分別是PD的中點可得AF⊥PD，再由PA⊥平面ABCD可得PA⊥CD，
由底面ABCD是矩形可得CD⊥AB，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，
∴AF⊥平面PCD，∴EG⊥平面PCD，由EG?平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PDC．

點評 本題考查直線和平面平行和垂直的判定，作出輔助線并逐步尋找滿足判定定理的條件是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．