Question

19．已知A={x|x²-（2k+2）x+k²+k+5=0}，α∈A，β∈A，則α²+β²的最小值為（　　）

• A． 50
• B． 60
• C． 70
• D． 80

Answer 1

分析 由已知中α，β是方程x²-（2k+2）x+k²+k+5=0，（x∈R）的兩個(gè)實(shí)根，則首先應(yīng)判斷△≥0，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)）的關(guān)系，給出α²+β²的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到出k為何值時(shí)，α²+β²有最小值，進(jìn)而得到這個(gè)最小值．

解答 解：若α，β是方程x²-（2k+2）x+k²+k+5=0的兩個(gè)實(shí)根，
則△=（2k+2）²-4（k²+k+5）≥0，解得k≥4，
則α+β=2k+2，αβ=k²+k+5，
則α²+β²=（α+β）²-2αβ=（2k+2）²-2（k²+k+5）
=2k²+6k-6=2（k+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{21}{2}$，
∴當(dāng)k=4時(shí)，α²+β²有最小值，最小值是50．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．其中易忽略：方程有兩個(gè)根時(shí)△≥0的限制．