Question

（文）已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的x都滿足f（x+2）=-f（x），當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f（x）=x³，則x∈[2，4]時(shí)y=f（x）的解析式是

 

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Answer 1

分析：依題意，易求y=f（x）是以4為周期的函數(shù)，利用-1≤x＜1時(shí)，f（x）=x³，分當(dāng)1≤x＜3與3≤x＜5兩段討論即可求得x∈[2，4]時(shí)y=f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴y=f（x）是以4為周期的函數(shù)；
又當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f（x）=x³，
∴當(dāng)1≤x＜3時(shí)，-1≤x-2＜1，
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³；
當(dāng)3≤x＜5時(shí)，-1≤x-4＜1，又y=f（x）是以4為周期的函數(shù)，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，
∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)y=f（x）的解析式是：
f（x）=

-(x-2)3，x∈[2，3) (x-4)3，x∈[3，4]

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故答案為：f（x）=

-(x-2)3，x∈[2，3) (x-4)3，x∈[3，4]

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點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的周期性與分段函數(shù)解析式的確定，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化運(yùn)算能力，屬于中檔題．