Question

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達(dá)式；

（Ⅱ）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明不等式：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用與在處相切，可求的表達(dá)式；（Ⅱ） 在上是減函數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)小于等于 在上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式，可求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時，證明 ， 當(dāng)x＞1時，證明 ，利用疊加法，即可得到結(jié)論．

試題解析：解：（Ⅰ）由已知 且 得： 2分

又 3分

（Ⅱ）在上是減函數(shù)，

在上恒成立. 5分

即在上恒成立，由，

得 6分

（Ⅲ)由（Ⅰ）可得：當(dāng)時：

得： 8分

當(dāng)時： 當(dāng)時： 當(dāng)時：

當(dāng)時：，

上述不等式相加得：

即： ① 9分

由（Ⅱ）可得：當(dāng)時：在上是減函數(shù)

當(dāng)時： 即

所以 從而得到： 11分

當(dāng)時： 當(dāng)時： 當(dāng)時：

當(dāng)時：，

上述不等式相加得：

即 ②

綜上：（） 12分

考點：1、不等式的證明；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．