Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，點M在PD上．

（1）求證：AB⊥PC
（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，設(shè)E為BC的中點，連結(jié)AE，

則AD=EC，AD∥EC，AD∥EC，所以四邊形AECD為平行四邊形，

故AE⊥BC，又AE=BE=EC=2 ，

所以∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，

又因為PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，

且PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC．

（2）解：如圖，以A為原點，分別以射線AE、AD、AP為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．

則A（0，0，0），E（2 ，0，0），B（2 ，﹣2 ，0），C（2 ，2 ，0），D（0，2 ，0），P（0，0，2），

設(shè) =λ =（0，2 ，﹣2λ），（0≤λ≤1），解得M（0，2 ，2﹣2λ）

設(shè)平面AMC的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，

令y= ，得 ，即

又平面ACD的一個法向量為 ，

由題知 = ，

解得 ．

∴ 的值為

【解析】（1）設(shè)E為BC的中點，連結(jié)AE，推導(dǎo)出四邊形AECD為平行四邊形，AB⊥AC，AB⊥PA，由此能證明AB⊥PC．（2）以A為原點，分別以射線AE、AD、AP為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．利用向量法能求出 的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．