Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時(shí)直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)拋物線的方程為；(Ⅱ )所求直線的方程為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線定義可求出；（Ⅱ）由的角平分線與軸垂直，可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)的方程，利用設(shè)而不求的方法來求的斜率為，設(shè)直線的方程，利用玄長公式與點(diǎn)到直線距離公式得的面積，由面積最大時(shí)來確定，從而得直線的方程．

試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200510369357937/SYS201309220051596704306751_DA.files/image013.png">，由拋物線的定義得，又，所以，

因此，解得，從而拋物線的方程為 ；

（Ⅱ）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200510369357937/SYS201309220051596704306751_DA.files/image023.png">的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線的斜率為，則，由題意，把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，由韋達(dá)定理得，即，同理，所以，

 設(shè)，把代入拋物線方程得，由題意，且，從而，又，所以，點(diǎn)到的距離，因此，設(shè)，

則，，由知，所以在上為增函數(shù)，因此，即面積的最大值為．的面積取最大值時(shí)，所求直線的方程為．

 考點(diǎn)：1、求拋物線方程，2、直線與二次曲線的位置關(guān)系，3、利用導(dǎo)數(shù)求最值．