Question

8．如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，點D、E、F分別為AC、AB、BC的中點．
（1）求證：EF⊥PD；
（2）求直線PF與平面PBD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，摔倒導(dǎo)出BD⊥AC，AC⊥PB，從而AC⊥PD，再由EF∥AC，能證明EF⊥PD．
（2）由PB⊥面ABC，得PB⊥EF，連結(jié)BD，交EF于點O，則∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角，且EF⊥PO，由此能求出直線PF與平面PBD所成的角的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，在△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，點D為AC的中點，∴BD⊥AC，
又PB⊥面ABC，∴AC⊥PB，
又PB與BD交于點B，∴AC⊥平面PBD，AC⊥PD，
∵E，F(xiàn)分別為AB、BC的中點，
∴EF∥AC，∴EF⊥PD．
解：（2）PB⊥面ABC，∴PB⊥EF，
連結(jié)BD，交EF于點O，
∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，
∴∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角，且EF⊥PO，
∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，
又∵∠PAB=45°，∴PB=AB=2，
∵OF=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PF=$\sqrt{P{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△FPO中，sin$∠FPO=\frac{OF}{PF}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴直線PF與平面PBD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．