Question

求證：當a，b，c，d＞0．
（1）

a+b+c

3

≥

3	abc

；
（2）

a+b+c+d

4

≥

4	abcd

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由a，b，c＞0．可得a³+b³+c³-3abc=（a+b）³+c³-（3abc+3a²b+3ab²）=（a+b+c）（a²+b²+c²+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc），再通過配方即可證明a³+b³+c³≥3abc，進而得到

a+b+c

3

≥

3	abc

，當且僅當a=b=c時取等號．
（2）由a，b，c，d＞0，利用基本不等式可得a+b≥2

ab

，c+d≥2

cd

．再一次利用基本不等式即可證明．

解答： 證明：（1）∵a，b，c＞0．
∴a³+b³+c³-3abc=（a+b）³+c³-（3abc+3a²b+3ab²）=（a+b+c）（a²+b²+c²+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
=

1

2

(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0．
∴a³+b³+c³≥3abc，
∴

a+b+c

3

≥

3	abc

，當且僅當a=b=c時取等號．
（2）∵a，b，c，d＞0，∴a+b≥2

ab

，c+d≥2

cd

．
∴a+b+c+d≥2

ab

+2

cd

≥4

ab • cd

=4

4	abcd

，當且僅當a=b=c=d時取等號．
∴

a+b+c+d

4

≥

4	abcd

．

點評：本題考查了均值不等式的證明方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．