Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8,其中a∈R.

(1)若f(x)在x=3處取得極值,求常數(shù)a的值;

(2)若f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),求a的取值范圍.

Answer 1

分析：(1)f(x)在x=3處取得極值,則f′(3)=0,可求a的值.(2)f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),需f′(x)在(-∞,0)上非負(fù),可求a的取值范圍.

解：(1)f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).

    因f(x)在x=3處取得極值,

    所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0,解得a=3.

    經(jīng)檢驗(yàn)知a=3時(shí),x=3為f(x)的極值點(diǎn).

(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x₁=a,x₂=1.

    當(dāng)a＜1時(shí),若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),則f′(x)＞0,

    所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上為增函數(shù).

    故當(dāng)0≤a＜1時(shí),f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù).

    當(dāng)a≥1時(shí),若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),則f′(x)＞0,

    所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).

    從而f(x)在(-∞,0]上也是增函數(shù).

    綜上可知,當(dāng)a∈［0,+∞)時(shí),f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù).