Question

(本題滿分14分) 已知F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點B也在橢圓上，且滿足（是坐標(biāo)原點），,若橢圓的離心率等于.   

(Ⅰ)求直線AB的方程；

(Ⅱ)若三角形ABF₂的面積等于4，求橢圓的方程；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，橢圓上是否存在點M，使得三角形MAB的面積等于8.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)

（Ⅲ）橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于

【解析】本試題主要是考查了直線方程的求解，以及橢圓方程的求解和三角形面頰的綜合運用。

（1）根據(jù)已知的向量關(guān)系，直線過原點，并且向量的垂直關(guān)系可以得到點A的坐標(biāo)，然后將點A的坐標(biāo)代入橢圓方程中可知得到直線的方程。

（2）連結(jié)AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由橢圓的對稱性可知，參數(shù)a,bc的關(guān)系式，進(jìn)而得到橢圓的方程。

（3）由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|

假設(shè)在橢圓上存在點M使得三角形MAB的面積等于8

設(shè)點M到直線AB的距離為d,則應(yīng)有

利用三角形的面積公式得到。

解：(Ⅰ)由知，直線AB經(jīng)過原點，又由知，因為橢圓的離心率等于……2分

設(shè)A（），由知

∴A（）,代入橢圓方程得    ∴A（），故直線AB的斜率

因此直線AB的方程為……………4分

(Ⅱ)連結(jié)AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由橢圓的對稱性可知

，所以……………6分

又由解得   故橢圓方程為……………8分

（Ⅲ）由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分

假設(shè)在橢圓上存在點M使得三角形MAB的面積等于8

設(shè)點M到直線AB的距離為,則應(yīng)有

∴……………10分

與AB平行且距離為4的直線為

消去x得       ……………13分

此方程無解故橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于……………14分

另解：設(shè)點P（4）為橢圓上任意一點

則P到直線的距離為

……………13分

故橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于……………14分