Question

已知函數f（x）=2sin（ωx），其中常數ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，求函數F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再往上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象．若函數y=g（x）在區(qū)間[m，10π]上有20個零點：a₁，a₂，a₃，…，a₂₀，求實數m的取值范圍并求a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀的值．

Answer 1

考點：復合三角函數的單調性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（I）當ω=1時，函數F（x）=2

3

sin（x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的遞增區(qū)間．
（II）令g（x）=0，可得 sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，求得x=kπ+

5π

12

，或 x=kπ+

3π

4

，k∈z．由題意可得區(qū)間[m，10π]恰好包含函數g（x）的10個周期，可得m∈（-

π

4

，

5π

12

]，a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

5π

12

）]，計算求得結果．

解答： 解：（I）當ω=1時，函數F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）=2sinx+2sin（x-

π

3

）=3sinx-

3

cosx=2

3

sin（x-

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，故函數的遞增區(qū)間為 [2kπ-

π

3

，2kπ+

2

3

π]，k∈Z．
（II）由題意可得 g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1，令g（x）=0，可得 sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
2x+

π

3

=2kπ+

7π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

11π

6

，即 x=kπ+

5π

12

，或 x=kπ+

3π

4

，k∈z．
若函數y=g（x）在區(qū)間[m，10π]上有20個零點，則區(qū)間[m，10π]恰好包含10個周期，
函數在區(qū)間[m+kπ，m+（k+1）π]上恰有兩個零點，故在[m，10π]上有20個零點．
∴m∈（-

π

4

，

5π

12

]，a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]
=

295π

6

+

105π

2

=

305π

3

．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、函數的奇偶性、根的存在性及根的個數的判斷，考查數形結合思想，結合圖象分析是解決問題的關鍵，屬于基礎題．