Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+2，若首項(xiàng)a₁=2，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n．

Answer 1

分析 由數(shù)列的遞推關(guān)系可得數(shù)列{a_n+1}是3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，求出a_n=3ⁿ-1，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，分組求和即可

解答 解：∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3a_n+3=3（a_n+1），
∵首項(xiàng)a₁=2，
∴a_n+1=3，
∴數(shù)列{a_n+1}是3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n，
故答案為：$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題