Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)作一條垂直于軸的直線與橢圓相交于，若線段的長(zhǎng)為。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是直線上的點(diǎn)，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；

 

Answer 1

【答案】

（1）依題意，橢圓過(guò)點(diǎn)，故，解得。…………（2分）

橢圓的方程為�！�…………………………（5分）

（2）設(shè)，直線的方程為，……………（6分）

 

 

代入橢圓方程，得， ……（7分）

設(shè)，則，

，故點(diǎn)的坐標(biāo)為�！�（8分）

同理，直線的方程為，代入橢圓方程，，

設(shè)，則，。

可得點(diǎn)的坐標(biāo)為。………………………（10分）

①若時(shí)，直線的方程為，與軸交于點(diǎn)；……11

②若，直線的方程為，…（13分）

令，解得。綜上所述，直線必過(guò)軸上的定點(diǎn)。

【解析】略