Question

11．過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{3}}{3}$=1的左焦點(diǎn)F作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，則三角形0AB的面積是（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）$\frac{9\sqrt{5}}{16}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的參數(shù)方程，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理、$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，求出直線的斜率，可得直線的方程，即可求出三角形0AB的面積．

解答 解：F（-1，0），設(shè)直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入橢圓的方程可得3（-1+tcosα）²+4（tsinα）²=12，
化為（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
∴t₁+t₂=$\frac{6cosα}{3+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{-9}{3+si{n}^{2}α}$．
∵t₁=-2t₂，
∴代入化簡(jiǎn)可得cosα=$\frac{2}{3}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1），
∵|t₁-t₂|=$\frac{27}{8}$，O到直線AB的距離d=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴三角形0AB的面積是$\frac{1}{2}×\frac{27}{8}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{9\sqrt{5}}{16}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{5}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的參數(shù)方程應(yīng)用、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．