Question

（本題滿分14分）如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為，以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.  

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

,

【解析】解：∵的右焦點(diǎn)

∴橢圓的半焦距，又，

∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，短半軸的長(zhǎng).

橢圓方程為.

（1）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為，………3分

（2）依題意設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立  得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將代入得.

設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.

又，.

  

∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。

即點(diǎn)可在圓內(nèi)，圓上或圓外.                   ……………8分

（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，

由解得：.

∴，，又.

即的邊長(zhǎng)分別是、、 .

時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)�！�…………14分