Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決；
（2）函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，f'（x）=3x²-2ax+1≥0在[1，2]上恒成立，可得2a≤3x+$\frac{1}{x}$在[1，2]上恒成立，求出右邊的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-x²+x，
∴f′（x）=3x²-2x+1，
∴f′（2）=3×2²-2×2+1=9，
∵f（2）=8-4+2=6，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程y-6=9（x-2），即9x-y-12=0；
（2）∵函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f'（x）=3x²-2ax+1≥0在[1，2]上恒成立，
∴2a≤3x+$\frac{1}{x}$在[1，2]上恒成立
令g（x）=3x+$\frac{1}{x}$，則g'（x）=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）=3x+$\frac{1}{x}$在1，2]上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=4
∴2a≤4，
∴a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的轉(zhuǎn)換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．