Question

已知，函數(shù).

（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，試證明：“方程有唯一解”的充要條件是“”。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）

當時，，∴單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，，∴單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）記，

⑴充分性：若，則，

當時，在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

∴當時，，即，當且僅當時取等號．

∴方程有唯一解．

⑵必要性：若方程有唯一解，即有唯一解．

令，得

∵∴（舍去），

當時，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

∴當時，

∵有唯一解，∴．則即

∴，∵，∴

設(shè)函數(shù)∵在時是增函數(shù)，∴至多有一解．

∵，∴方程（*）的解為，即，解得

由⑴、⑵知，“方程有唯一解”的充要條件是“”

【解析】略