Question

1．在△ABC中，D為邊BC上任意一點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，則λμ的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 在△ABC中，D為邊BC上任意一點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，由向量共線定理可得：λ+μ=1，λ，μ∈[0，1]．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵在△ABC中，D為邊BC上任意一點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，
由向量共線定理可得：λ+μ=1，λ，μ∈[0，1]．
則λμ≤$（\frac{λ+μ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．