Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）及內(nèi)部面積為S=πab，A₁，A₂是長軸的兩個頂點，B₁，B₂是短軸的兩個頂點，在橢圓上或橢圓內(nèi)部隨機取一點 P，給出下列命題：
①△PA₁A₂為鈍角三角形的概率為1；
②△PB₁B₂為鈍角三角形的概率為$\frac{a}$；
③△PA₁A₂為鈍角三角形的概率為$\frac{a}$； 
④△PB₁B₂為銳角三角形的概率為$\frac{a-b}{a}$．
其中正確的命題有①②④．（填上你認為所有正確的命題序號）

Answer 1

分析 分別以短軸兩個頂點為直徑的兩個端點作圓O，以長軸兩個頂點為直徑的兩個端點作圓O′，利用幾何概型概率的計算公式，數(shù)形結(jié)合即得結(jié)論．

解答 解：如圖，以短軸兩個頂點為直徑的兩個端點作圓O，
則圓O的面積為：πb²．
易得當點P位于圓O內(nèi)（含邊界）時，△PB₁B₂為鈍角三角形，
∴△PB₁B₂為鈍角三角形的概率為：$\frac{π^{2}}{πab}$=$\frac{a}$，
當點P位于圓O外、橢圓內(nèi)（含邊界）時，△PB₁B₂為銳角三角形，
∴△PB₁B₂為銳角三角形的概率為：1-$\frac{π^{2}}{πab}$=1-$\frac{a}$=$\frac{a-b}{a}$，
以長軸兩個頂點為直徑的兩個端點作圓O′，
則在橢圓上或橢圓內(nèi)部隨機取一點P，△PA₁A₂為鈍角三角形，
∴△PA₁A₂為鈍角三角形的概率為1，
故答案為：①②④．

點評 本題以橢圓為載體，考查幾何概型概率的計算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．