Question

5．設y=f（x）是二次函數(shù)，且f（0）=8及f（x+1）-f（x）=-2x+1
（1）求f（x）的解析式
（2）求函數(shù)y=log₃f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=8可求c，由f（x+1）-f（x）=-2x+1可構(gòu)造關于a，b的方程組，可求解．
（2）結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=8，∴c=8
又f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
∵f（x+1）-f（x）=-2x+1
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=-2x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=-2\\ a+b=1\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x²+2x+8．
（2）∵f（x）=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴由y=log₃f（x）得0＜f（x）≤9，
則y=log₃f（x）≤log₃9=2，
即函數(shù)的值域為（-∞，2]．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式以及函數(shù)值域的求解，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法是解決本題的關鍵．