Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關于原點對稱，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-mf（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設g（x）的圖象上任意一點（x，y），則關于原點對稱點的坐標為（-x，-y），代入f（x）=x²+2x，即可得結(jié)論；
（Ⅱ）求導函數(shù)，根據(jù)h（x） 在[-1，1]上是增函數(shù)且非常函數(shù)，則在[-1，1]上h′（x）≥0恒成立．建立不等式組，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設g（x）的圖象上任意一點（x，y），則關于原點對稱點的坐標為（-x，-y），
代入f（x）=x²+2x，可得-y=x²-2x，
∴y=-x²+2x，
∴g（x）=-x²+2x   …（6分）
（Ⅱ）h（x）=g（x）-mf（x）=-x²+2x-m（x²+2x）=-（1+m）x²+2（1-m）x
求導函數(shù)可得h′（x）=-2（1+m）x+2（1-m） …（9分）
依題設知：h（x） 在[-1，1]上是增函數(shù)且非常函數(shù)，則在[-1，1]上h′（x）≥0恒成立．
∴

-2(1+m)+2-2m≥0 2(1+m)+2-2m≥0

，解得：m≤0…（12分），

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查導數(shù)知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．