Question

【題目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).

（1）若曲線y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程為y=x，求a、b的值；

（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.

Answer 1

【答案】(1) a=-1，b=2. (2)

【解析】

（1）由已知得.

依題意有a=-1，b=2.

（2）設g(x)=f(x)-(x2+x).則g(x)=ln(ax+b)-x≤0.

當a<0時，g(x)的定義域為(-∞，)

取x0使得ln(a x0+b)= +1，則

故g(x0)=ln(a x0+b)-x0>ln(ax0+b)- .

于是，當a<0時，g(x)≤0不恒成立，即a<0不符合要求.

當a>0時，

注意到，ax+b>0，若<x<，則；

若x>，則.

于是，g(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).

從而，g(x)在其定義域上有最值g.

由g(x)≤0

設h(a)=a2-a2lna.則=2a-(2alna+a) =a(1-2lna).

當0<a<時，寸，>0；

當a>時，<0.

于是，h(a)在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)，在區(qū)間(，+∞)上為減函數(shù).

從而h(a)的最大值為.

故當a=，b=時，ab取最大值.

綜上，ab的最大值為.