Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別F₁、F₂，動(dòng)直線l與橢圓相切于點(diǎn)P，作F₁A，F(xiàn)₂B垂直于直線l，垂足分別為A，B，記λ=$\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}}$．當(dāng)P為左頂點(diǎn)時(shí)，λ=9，且λ=1時(shí)，四邊形AF₁F₂B的周長(zhǎng)為22．
（1）試確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：BF₂•AF₁為定值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)當(dāng)P為左頂點(diǎn)時(shí)λ=9及PF₂-PF₁=2c，得4a=5c，再通過(guò)λ=1時(shí)四邊形AF₁F₂B的周長(zhǎng)為22，可知b+2c=11，計(jì)算即可；
（2）設(shè)直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M（m，0），N（0，n），（m、n＞0），通過(guò)直線l的方程nx+my-mn=0，可得BF₂=$\frac{|4n-mn|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，AF₁=$\frac{4n+mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，再利用直線l與橢圓相切，即9m²+9n²+16n²-m²n²=0，可得BF₂•AF₁=9．

解答 （1）解：當(dāng)P為左頂點(diǎn)時(shí)，λ=9，即PF₂=9PF₁，
又∵PF₂-PF₁=2c，∴c=4PF₁=4a-4c，即4a=5c，
當(dāng)λ=1時(shí)，四邊形AF₁F₂B的周長(zhǎng)為22，
即2b+4c=22，∴b+2c=11，
又∵a²-b²=c²，∴a=5，b=3，c=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）證明：由（1）知F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
設(shè)直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M（m，0），N（0，n），（m、n＞0），
則直線l的方程為：nx+my-mn=0，
∴BF₂=$\frac{|4n-mn|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，AF₁=$\frac{4n+mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，
聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y得：$（9+\frac{25{n}^{2}}{{m}^{2}}）{x}^{2}$-$\frac{50{n}^{2}}{m}x$+25n²-225=0，
∵直線l與橢圓相切，∴△=$（\frac{50{n}^{2}}{m}）^{2}$-$4×（9+\frac{25{n}^{2}}{{m}^{2}}）（25{n}^{2}-225）$=0，
化簡(jiǎn)，得9m²-m²n²+25n²=0，即9m²+9n²+16n²-m²n²=0，
∴BF₂•AF₁=$\frac{|4n-mn|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$•$\frac{4n+mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{|16{n}^{2}-{m}^{2}{n}^{2}|}{{m}^{2}+{n}^{2}}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，注意解題方法的積累，屬于難題．