Question

如圖，正三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，過(guò)EF的一個(gè)平面與側(cè)棱OA、OB、OC或其延長(zhǎng)線分別相交于A₁、B₁、C₁，已知OA₁=．

（1）證明：B₁C₁平面OAH；

（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

Answer 1

解：（1）依題設(shè)：EF是的中位線，所以，EF//B₁C₁，則EF//平面OBC，所以EF//B₁C₁，

又H是EF的中點(diǎn)，所以AH⊥EF，則AH⊥B₁C₁

   因?yàn)椋篛A⊥OB，OA⊥OC，所以O(shè)A⊥平面OBC，則OA⊥B₁C₁，

因此，B₁C₁⊥平面OAH。

（2）作OA⊥A₁B₁于N,連C₁N

     因?yàn)?sub>

     根據(jù)三垂線定理知，

   就是二面角O-A₁B₁-C­₁的平面角。

      作EM⊥OB₁于M，則EM∥OA,則M是OB的中點(diǎn)，則EM=OM=1

      設(shè)OB₁=x,由得，

      在中，.

      所以,故二面角O-A₁B₁-C₁為

解法二：（1）以直線OA、OC、OB分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，O-xyz

   則A（2，0，0），B（0，0，2），C（0，2，0），E（1，0，1），F(xiàn)（1，1，0）H（1，）

所以

所以

所以

由

（2）由已知

     則

     由與共線得：存在有得

      

∴B₁（0，0，3）

同理：（0，3，0）

∴

設(shè)是平面A₁B₁C₁的一個(gè)法量

∴

所以二面角的大小為.