Question

已知數(shù)列{a_n}，，若以a₁，a₂，…，a_n為系數(shù)的二次方程都有根α，β，且滿足3α-αβ+3β=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1，得a_n=a_n-1+，故=，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由，知，令T_n=．利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
解答：解：（Ⅰ）∵將α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1，
得a_n=a_n-1+，（2分）
∴=，
∴=為定值．又a₁-=，
∴數(shù)列{a_n-}是首項為，公比為的等比數(shù)列．（5分）
∴a_n-=×（）^n-1=（）ⁿ，
∴a_n=（）ⁿ+．（6分）
（Ⅱ）∵，
∴，（7分）
令T_n=．①
②
①-②得，，
∴，（11分）
∴．（12分）
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯位相減法的合理運用．