Question

15．己知等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₄=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：$\frac{1}{3}$≤T_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可證明右邊；利用單調(diào)性即可證明左邊．

解答 解：（I）設(shè){a_n}的公差為d，a₁=1，b₄=1+3d=7，
∴d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（II）${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
∵n∈N^*，∴${T_n}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$；
${T_n}-{T_{n-1}}=\frac{n}{2n+1}-\frac{n-1}{2n-1}=\frac{1}{{（{2n+1}）（{2n-1}）}}＞0$，
∴數(shù)列{T_n}是一個(gè)遞增數(shù)列，
∴${T_n}≥{T_1}=\frac{1}{3}$．
綜上所述，$\frac{1}{3}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．