Question

稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①；②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項公式；

（2）若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；

（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為：

（i）求證：；

（ii）若存在使，試問數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）．或；

（2）；

（3）（i）證明見解析；（ii）不能，證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）數(shù)列中等比數(shù)列，因此是其前和，故利用前前項和公式，分和進行討論，可很快求出，或；（2）階等差數(shù)列是遞增數(shù)列，即公差，其和為0，故易知數(shù)列前面的項為負，后面的項為正，即前項為正，后項為正，因此有，，這兩式用基本量或直接相減可求得，，因此通項公式可得；（3）（i）我們只要把數(shù)列中所有非負數(shù)項的和記為，所有負數(shù)項的記為，則，不可能比小，同樣不可能比大，即，得證；（ii）若，則一定有，，且，若數(shù)列為n階“期待數(shù)列”，設(shè)其前項和為，首先，而，，因此，即，，從而，于是，那么，矛盾出現(xiàn)了，故結(jié)論是否定的．

試題解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．     1分

若，則由①=0，得，     3分

由②得或．

所以，．數(shù)列的通項公式是

或            4分

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，>0．

∵，∴，∴，

∵>0，由得，，

由①、②得，，     6分

兩式相減得，，  ∴，

又，得，

∴數(shù)列的通項公式是．  9分

（3）記中所有非負項的和為A，所有負數(shù)項的和為B，

則，，解得，

（i），即．         12分

（ii）若存在，使，由前面的證明過程知：

且，         14分

如果是階“期待數(shù)列”，

記數(shù)列的前項和為，

則由（i）知，，

，而，

，從而，，

又，

則，         16分

，

與不能同時成立，

所以，對于有窮數(shù)列，若存在使，則數(shù)列的和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”．         18分

考點：（1）等比數(shù)列的前和公式與通項公式；（2）等差數(shù)列的前和公式與通項公式；（3）數(shù)列綜合題．