Question

函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對于任意x₁、x₂∈D,有f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂).

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；

(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.

Answer 1

(1)解:令x₁=x₂=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.

(2)證明:令x₁=x₂=-1,有f［(-1)×(-1)］=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0.

    令x₁=-1,x₂=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x).

    ∴f(x)為偶函數(shù).

(3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.

    ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f［(3x+1)(2x-6)］≤f(64).               (*)

    ∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，

    ∴(*)等價于不等式組

   

    或

    即

    ∴3＜x≤5或-≤x＜-或-＜x＜3.?

    ∴x的取值范圍為{x|-≤x＜-或-＜x＜3或3＜x≤5}.

講評:解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙:

    (1)無從下手，不知如何脫掉“f”.解決辦法:利用函數(shù)的單調(diào)性.

    (2）無法得到另一個不等式.解決辦法:關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.