Question

15．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）將曲線C₁的方程化為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π，t為參數(shù)，t≠0），l與C₁交與點(diǎn)A，l與C₂交與點(diǎn)B，且|AB|=$\sqrt{3}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）將曲線C₁的方程化為普通方程，然后轉(zhuǎn)化求解C₁的極坐標(biāo)方程．
（2）曲線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π，t為參數(shù)，t≠0），化為y=xtanα．由題意可得：|OA|=ρ₁=2cosα，|OB|=ρ₂=4cosα，利用|AB|=$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β為參數(shù)）．
可得（x-1）²+y²=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ=0，
即ρ=2cosθ．
（2）曲線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π，t為參數(shù)，t≠0），化為y=xtanα．
由題意可得：|OA|=ρ₁=2cosα，|OB|=ρ₂=4cosα，
∵|AB|=$\sqrt{3}$，
∴|OA|-|OB|=-2cosα=$\sqrt{3}$，即cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴α=$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、兩點(diǎn)之間的距離、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．