Question

15．已知A（-1，2）為拋物線C：y=2x²上的點，直線l₁過點A，且與拋物線C相切．直線l₂：x=a（a＞-1）交拋物線C于點B，交直線l₁于點D．設(shè)設(shè)由拋物線C、直線l₁、l₂所圍成的圖形的面積為S₁．
（1）求直線l₁的方程；
（2）求S₁的值．

Answer 1

分析 （1）先對函數(shù)y=2x²進(jìn)行求導(dǎo)，得到直線l₁的斜率，再由點斜式方程得到直線l₁的方程．
（2）用積分表示面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由y=2x²，得y'=4x．當(dāng)x=-1時，y'=-4．
∴l(xiāng)₁的方程為y-2=-4（x+1），即4x+y+2=0…..（5分）
（2）由題意，當(dāng)a＞-1時，${S_2}=\int_{-1}^a{（2{x^2}+4x+2）dx=（\frac{2}{3}{x^3}+2{x^2}+2x）\left|{_{-1}^a}\right.}$=$\frac{2}{3}{a^3}+2{a^2}+2a+\frac{2}{3}-2+2=\frac{2}{3}{（a+1）^3}$…..（12分）

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線與拋物線的綜合題．考查基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用．