Question

8．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）定義域?yàn)閧x|x≠0}，容易得到f（-x）=-f（x），從而f（x）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂≥2，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂），這便可得出f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁＞x₂≥2，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥2；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)奇偶性的定義，以及判斷函數(shù)奇偶性的方法和過(guò)程，增函數(shù)的定義，及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．