Question

定義在上的函數(shù)對(duì)任意都有（為常數(shù)）.

（1）判斷為何值時(shí)為奇函數(shù)，并證明；

（2）設(shè)，是上的增函數(shù)，且，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1），證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查抽象函數(shù)奇偶性的判斷和利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想.第一問，用賦值法證明函數(shù)的奇偶性；第二問，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化成恒成立問題，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）若在上為奇函數(shù)，則，            1分

令,則，∴.      2分

證明：由，令，則，

又，則有.即對(duì)任意成立，所以是奇函數(shù).

             6分

（Ⅱ）             7分

∴對(duì)任意恒成立．

又是上的增函數(shù)，∴對(duì)任意恒成立，      9分

即對(duì)任意恒成立，

當(dāng)時(shí)顯然成立；

當(dāng)時(shí)，由得．

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．     13分

考點(diǎn)：1.抽象函數(shù)的奇偶性的判斷；2.恒成立問題.