Question

△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，

m

=（sinA+sinB-sinC，sinC），

n

=（sinB，sinA+sinC-sinB），且

m

∥

n

，
（1）求A的大小；
（2）若BC邊上的高為1，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式建立方程關(guān)系，利用余弦定理即可求A的大�。�
（2）利用三角形的面積公式，分別表示出三角形的面積，得到S²=

1

4

a²=

1

4

（c²+b²-bc），再利用基本不等式求出面積的最小值．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinA+sinB-sinC，sinC），

n

=（sinB，sinA+sinC-sinB），且

m

∥

n

，
∴（sinA+sinB-sinC）（sinA+sinC-sinB）=sinCsinB，
∴sin²A-sin²C-sin²B+sinCsinB=0，
根據(jù)正弦定理得a²=c²+b²-bc，
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（2）設(shè)ABC的面積為S，BC邊上的高為h，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，即bc=

4 3

3

S，S=

1

2

ah=

1

2

a，
∴S²=

1

4

a²=

1

4

（c²+b²-bc）≥

1

4

（2bc-bc）=

1

4

bc=

1

4

×

4 3

3

S=

3

3

S，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴S≥

3

3

故△ABC面積的最小值為

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值以及三角形的面積公式，即基本不等式的應(yīng)用，利用余弦定理求出A的大小是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題，