Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=m|x|-2，（m∈R）．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞x+3；
（2）若對于任意x∈R，有f（x）-g（x）≥0，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞x+3即不等式|x-2|＞x+3，分類討論，去掉絕對值符號，即可得出結(jié)論；
（2）若對于任意x∈R，有f（x）-g（x）≥0，只需要f（2）-g（2）≥0，即可求實數(shù)m的最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）＞x+3，即不等式|x-2|＞x+3，
x≤2時，2-x＞x+3，∴x＜-$\frac{1}{2}$，此時x＜-$\frac{1}{2}$；
x＞2時，x-2＞x+3，∴x∈∅，
∴不等式的解集為{x|x＜-$\frac{1}{2}$}；
（2）∵對于任意x∈R，有f（x）-g（x）≥0，
m≤0時恒成立；
m＞0時，如圖所示，f（2）-g（2）≥0，
∴0-2m+2≥0，
∴m≤1，
∴實數(shù)m的最大值為1．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類討論是關(guān)鍵．