Question

設(shè)橢圓C₁：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C₂：與軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F₁，F₂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C₂上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

Ⅰ）（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）解：由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．

令y=0得即，則F₁(-1，0)，F(xiàn)₂（1，0），故c=1．

所以．于是橢圓C₁的方程為．…………4分

（Ⅱ）設(shè)N（），由于知直線PQ的方程為：

． 即．……………………………5分

代入橢圓方程整理得：,

=,

 , ,

故

．………………………………7分

設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則．…………………9分

所以，的面積S

 ………………11分

當(dāng)時取到“=”，經(jīng)檢驗此時，滿足題意．

綜上可知，的面積的最大值為．…………………………12分

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及直線和橢圓的位置關(guān)系求最值

點(diǎn)評：本題計算量較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力