Question

已知橢圓的離心率為，

軸被拋物線截得的線段長等于的長半軸長.

（1）求的方程；

（2）設(shè)與軸的交點為，過坐標(biāo)原點的直線

與相交于兩點，直線分別與相交于.   

①證明：為定值;

②記的面積為，試把表示成的函數(shù)，并求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）利用直線與拋物線以及直線于橢圓聯(lián)立方程組來求解向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積為零來證明垂直。當(dāng)，即時，

【解析】

試題分析：解：（1）由已知，，      ①           

在中，令，得②

由①②得，

                           

(2)由得

設(shè)，則             

而

  

 

（3）設(shè)在上，

即，，直線方程為：代入， 得，

，同理

由（2）知，，

令，

又在時，為增函數(shù)，，

當(dāng)，即時，

考點：直線與拋物線，橢圓的位置關(guān)系

點評：解決的關(guān)鍵是利用拋物線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)得到方程的求解，以及聯(lián)立方程組來得到坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積為零證明垂直，屬于基礎(chǔ)題。