Question

15．已知集合A={x|2x²-7x+3≤0}，集合B={x|x²-a＜0，a∈R}．
（1）若a=4，求A∩B和A∪B．
（2）若A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)集合A，B，即可求A∩B和A∪B．
（2）若A∩B=∅，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵A={x|2x²-7x+3≥0}={x|（2x-1）（x-3）≥0}={x|x≥3，或x≤$\frac{1}{2}$}，
當(dāng)a=4時(shí)，B={x|x²-4＜0}={x|-2＜x＜2}，
∴A∩B={x|-2＜x≤$\frac{1}{2}$}，A∪B={x|x＜2，或 x≥3}．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，B=∅，滿足A∩B=∅；
當(dāng)a＞0時(shí)，B={x|x²-a＜0}={x|-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$ }，
由A∩B=∅，可得$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{2}$，解得 a≤$\frac{1}{4}$．
綜上可得，a≤$\frac{1}{4}$，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．