Question

6．已知m＞0，n＞0，在（1+mx）³+（1+$\sqrt{3}$nx）²的展開式中，當(dāng)x²項(xiàng)系數(shù)為3時(shí)，則m+n的最大值為（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 （1+mx）³+（1+$\sqrt{3}$nx）²的展開式中，x²項(xiàng)系數(shù)為${∁}_{3}^{2}•{m}^{2}$+3n²，可得m²+n²=1，利用m+n$≤\sqrt{2（{m}^{2}+{n}^{2}）}$即可得出．

解答 解：（1+mx）³+（1+$\sqrt{3}$nx）²的展開式中，
x²項(xiàng)系數(shù)為${∁}_{3}^{2}•{m}^{2}$+3n²=3m²+3n²=3，
化為m²+n²=1，
∵m＞0，n＞0，
則m+n$≤\sqrt{2（{m}^{2}+{n}^{2}）}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號．
∴m+n的最大值為$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．