Question

在數列中，若（，，為常數），則稱為數列．
（1）若數列是數列，，，寫出所有滿足條件的數列的前項；
（2）證明：一個等比數列為數列的充要條件是公比為或；
（3）若數列滿足，，，設數列的前項和為．是否存在
正整數，使不等式對一切都成立？若存在，求出的值；
若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；；；．（2）證明：一個等比數列為數列的充要條件是公比為或；（3）.

試題分析：（1）由是數列，，，有，根據定義可知,，從而寫出滿足條件的數列的前項；（2）先證必要性，設數列是等比數列，（為公比且），由定義（為與無關的常數），則；再證充分性，若一個等比數列的公比，則， ，所以 為數列；若一個等比數列的公比，則，，所以得證.（3）先利用題中所給條件表示出 ，假設存在正整數使不等式對一切都成立．即，當時，，又為正整數，．接著證明對一切都成立．利用進行裂項相消.
試題解析：（1）由是數列，，，有，  
于是,
所有滿足條件的數列的前項為：
；；；．    4分
（2）（必要性）設數列是等比數列，（為公比且），則
，若為數列，則有
（為與無關的常數）
所以，或．                           2分
（充分性）若一個等比數列的公比，則， ，所
以 為數列；
若一個等比數列的公比，則，
，
所以為數列．                                     4分
（3）因數列中，則
，
所以數列的前項和 1分
假設存在正整數使不等式對一
切都成立．即
當時，，又為正整數，
．                                           3分
下面證明：對一切都成立．
由于
所以
5分