Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{3π}{4}$]時，f（x）的圖象與x軸恰好有兩個不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（x）圖象的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)y=f（x）兩個不同的交點(diǎn)，建立條件關(guān)系即可，求m的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=1+cos2x+sin2x+a=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a+1$，
∴T=1，
又∵$-\frac{π}{2}+2kπ＜2x+\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}+2kπ$
∴$-\frac{3π}{8}+kπ＜x＜\frac{π}{8}+kπ$
∴$單增區(qū)間為（-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ）（k∈Z）$
（2）f（x）與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，即$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a+1=0$有兩個不同的解
即$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$與y=-a-1有兩個不同交點(diǎn)
令$t=2x+\frac{π}{4}$，t$∈[\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}]$
易知$-\sqrt{2}＜-a-1≤-1$
∴$a∈[0，\sqrt{2}-1）$

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，屬于易考題．