Question

若函數(shù)對(duì)任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).

（Ⅰ）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由.

①；    ②.

（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì)，且（），

求證：對(duì)任意有；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對(duì)任意均有.若成立給出證明，若不成立給出反例.

Answer 1

（Ⅰ）證明：①函數(shù)具有性質(zhì).                     ……………1分

，

因?yàn)?img width=36 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/07/22/2011070722225147406027.files/image210.gif' >，，                                 ……………3分

即，

此函數(shù)為具有性質(zhì).

②函數(shù)不具有性質(zhì).                                 ……………4分

例如，當(dāng)時(shí)，，

，                             ……………5分

所以，，

此函數(shù)不具有性質(zhì).

（Ⅱ）假設(shè)為中第一個(gè)大于的值，     ……………6分

則，

因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，

所以，對(duì)于任意，均有，

所以，

所以，

與矛盾，

所以，對(duì)任意的有.                   ……………9分

（Ⅲ）不成立.

例如                              ……………10分

證明：當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，均為有理數(shù)，

，

當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，均為無理數(shù)，

所以，函數(shù)對(duì)任意的，均有，

即函數(shù)具有性質(zhì).                                      ……………12分

而當(dāng)（）且當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，.

所以，在（Ⅱ）的條件下，“對(duì)任意均有”不成立.……………13分

（其他反例仿此給分.

如，，，等.）