Question

在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)（）相交于兩點(diǎn)．

（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求面積的最小值；

（II）是否存在垂直于軸的直線(xiàn)，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）

  （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，

直線(xiàn)的方程為，與聯(lián)立得消去得．

由韋達(dá)定理得，．

于是．

，

當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，其方程為，

的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，

則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，

，

．

令，得，此時(shí)為定值，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，其方程為，

即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn)．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得

，

又由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得．

從而，

當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，

將直線(xiàn)方程代入得，

則．

設(shè)直線(xiàn)與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，

則有．

令，得，此時(shí)為定值，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，其方程為，

即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn)．