Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直線PD與底面ABCD所成的角等于30°，

PF

=

FB

，

BE

=λ

BC

（0＜λ＜1）．
（1）若EF∥平面PAC，求λ的值；
（2）當BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°？

Answer 1

分析：（1）通過平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，利用EF∥平面PAC，推出E為BC的中點，求λ的值；
（2）以A為坐標原點，分別以AD、AB、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，求出P，B，F(xiàn)，D，坐標，設BE=a，則E（a，1，0），通過平面PDE的法向量

n1

，平面ADE的法向量

n2

，利用

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，求出BE的值，使得二面角P-DE-A的大小為45°．

解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，若EF∥平面PAC，
則EF∥PC，又F是PB的中點，
∴E為BC的中點，
∴λ=

1

2

…（5分）
（2）以A為坐標原點，分別以AD、AB、AP所在直線為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），B（0，1，0），F(xiàn)（0，

1

2

，

1

2

），
D（

3

，0，0），設BE=a，則E（a，1，0）
平面PDE的法向量

n1

=（1，

3

-a，

3

)，平面ADE的法向量

n2

=（0，0，1），
∴

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，⇒

3

1+( 3 -a)2+3

=

2

2

，
解得a=

3

-

2

或a=

3

+

2

（舍去），
當BE=

3

-

2

時，二面角P-DE-A的大小為45°．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，考查邏輯推理能力，計算能力．